Hubbard 模型(二):玻色 Hubbard 模型

2020-06-07

希望笔者在前文中或多或少给了一点理由让大家一起来赏玩原本只属于一部分物理学家们的玩具。现在开始我们进入正题来探讨 Hubbard 模型家族中的几个知名典範。明确的说,首先我们讨论在二维空间中正方晶格(square lattice)上的玻色子版本 Hubbard 模型(Bosonic Hubbard Model)[1,2]。

也就是说,我们有一个正方形的晶格,并有一些玻色子被放在节点 \(x_i\) 上,这些玻色子可以相邻的两点上移动,但当两个玻色子聚集在同一个节点时,他们看得到彼此并且两者间会感受到排斥力。代数上,玻色子的数目、玻色子在节点上移动的能力、与同一节点上两个玻色子的排斥力可分别由化学势 \(\mu\)(chemical potential)、跃迁常数 \(t\)(hopping constant)、与交互作用位能 \(U\) 这三个参数决定。原则上我们也可以让单一个粒子在每不同节点上看到不同的位能值 \(V(x_i)\),但这个项其实可以跟化学势合併在一起,并且为了得到最初步的结果我们暂时不考虑这样的複杂性。

Hubbard 模型(二):玻色 Hubbard 模型

Figure1.在玻色子的问题中,由于没有不相容原理,并没有一个轨域只能填一个粒子的限制,思考玻色问题基态的直觉一部分可由怎幺分布会使得能量变低决定。(photo credit: 作者自绘)

对于理论物理学家们而言,给定这样一个模型,我们并不奢望直接可以分析它的所有动力学性质,在少数的相对简单的问题中,其中一个我们有希望能回答的是:这个模型的基态的「相」是什幺?在做任何计算之前,我们可以先看一些极限的例子,并尝试定性地去推敲这些极限的相,接着用比较精确的定量分析来内插解析出是哪些相连接这些极限的例子。

让我们看看第一个极限:\(\displaystyle \frac{U}{t}\ll 1\) 或 \(U=0\)。

在这个极限,玻色子们其实看不见对方,也就是说多粒子问题变回了单粒子问题,同时,我们有能力去计算单一个玻色子的能阶,接下来要回答的,就是当有很多玻色子要填进这个能阶时它们要怎幺分布。对于自由的玻色子而言,这个问题的答案是已知的,因为它们不需要遵守庖立不相容原理,大家可以一起挤到最低的能态去,也因此,全部的人共享同一个波函数,这样的物理相信有些读者能够心领神会,这也就是所谓的玻色爱因斯坦凝聚(Bose-Einstein condensation),也就是说,基态是个超流体(Superfluid)。

另外一个极限是 \(\displaystyle \frac{t}{U}\ll 1\) 或 \(U=0\)。

在这个极限中,玻色子们一但被放到某个节点上,就没有移动的能力。要决定 \(N\) 个粒子的基态,等同于考虑要把这些粒子以降低能量为考量分配到所有节点上。读者自己可以估计几个简单的粒子,比如把 2 个粒子分到 2 个节点上,或把 4 个粒子分到 2 个节点上。在第一个例子中,当两个粒子在两个节点上的时候,交互作用是 0 也因此能量为 0,但当两个粒子放在同一个点上时,能量为 \(U\)。多看看几个例子,大家很快便可以说服自己,当每个节点都有一样数目的粒子,系统的能量最低。这种从能带理论上看是导体,但因为交互作用失去导电性的状态,我们称为莫特绝缘体(Mott Insulator)。

因为戈登斯通玻色子(Goldstone Boson)的缘故,超流体是没有能隙(energy gap)的,意思是我们不需要施加很大的能量才可以激发超流体的基态,另一方面而言,绝缘体是有能隙的,我们必须施加某个量值以上的能量才能把系统从基态带到另外一个态,也就是说,从能谱的角度,这两个基态在不同的物质相里面,但因为它们属于两个极端的状况,当 \(\displaystyle\frac{t}{U}\) 处于 0 和无限大中间某个值时,必然要存在一个相变化。

在进入下一个课题前,读者们可以稍稍回顾,笔者前面在论述超流体和绝缘体这两个相的存在时,基本上没有进行什幺认真的计算,而是由考虑系统的某些极限,并透过更基础一层的知识去判断该有的结果。当然,更精确的相分布还是需要透过计算得到。在图 2 中,我们约略描绘了在平均场(mean field)的计算下,玻色 Hubbard 模型的基态根据给定的化学势、跃迁常数与交互作用所处的物质相。

Hubbard 模型(二):玻色 Hubbard 模型

Figure2. 本图中我们考虑不同的化学势与跃迁常数下玻色Hubbard模型的基态物质相。(photo credit: 作者自绘)

目前为止,我们说明了本系统在两个极限中的物质相,以及相变化的存在。对于理论物理学家而言,下一个问题就是往相变化的领域前进,研究这个系统的临界现象(critical phenamonon)要妥善写下精确描述这个範围物理的模型是比较技术性的,我们不会钻入详细的量子场论分析,但我想要陈述一个问题,并画出量子理论计算出的结果。

首先一个我没有证明的事实是,这个临界点的有效理论被认为是一个「相对论性」(relativistic)的理论,因而在超流体态中,我们除了有无质量的戈德斯通粒子,接近相变化时,还会获得另一个有质量的(类比的)[1]「希格斯玻色子」(Higgs Boson)。因为这是超流体的一个特徵,我们相信这个希格斯玻色子的质量 \(\Delta_H\) 在接近相变化的时候会越来越小,并且在临界点时为 0。另一方面而言,在莫特绝缘体的相中,我们也有一个能量尺度是绝缘体的能隙 \(\Delta_M\),因爲这个能隙是绝缘体的特徵,我们也期待在接近相变化时,这个值会愈来愈小,并在临界点为 0。

实际的计算被呈现在图 3 之中。但更引人入胜的是,这样的计算结果目前已经被冷原子实验实现 [3],被认为是在非基本粒子实验中寻获的希格斯粒子。

在本文中我们讨论了简单的玻色 Hubbard 模型,并用物理的论述讨论了基态所处的物质相。我们也呈现了在相变化附近的计算结果,而这些结果不只是理论上的宣言,同时也已被实验所验证。

Hubbard 模型(二):玻色 Hubbard 模型

Figure3. 本图中我们呈现在不同参数下,超流态中希格斯粒子的质量以及绝缘态中绝缘体的能隙。如本文所解释,这两个数值在接近相变化的时候都会变小,并且在临界点归零。(Photo credit: 作者自绘)

[1]这不是我们在 LHC 里找的那个希格斯玻色子,这边之所以这样称呼是因为它们在类似,但不同模型中扮演类比的角色。

连结:

Hubbard 模型(ㄧ):动机与定义Hubbard 模型(二):玻色 Hubbard 模型Hubbard 模型(三):费米 Hubbard 模型:简单的解析事实(上)Hubbard 模型(四):费米 Hubbard 模型:简单的解析事实(下)Hubbard 模型(五):自旋液体与价键固体

 参考资料: